完本神战

09 有趣而棘手的问题 Curiosities and Di lemmas（第1页）

09有趣而棘手的问题CuriositiesandDilemmas

在这本书的开头，我曾经说过一些概率问题第一眼看上去有违常识。随着故事的逐渐呈现，相关的例子已经讲述过了。这里呈现一些直觉会产生误导的情况，但是足够小心的话，这些表面上的矛盾都是可以解释的。概率这门学科已经完全不含有真实的悖论了。

但是即使概率知识能够帮助我们做出合理决定，我们也许仍然会发现，就算是考虑某个特定事情的概率也可能会遇到棘手的问题。

帕隆多悖论

格雷厄姆·格林（GrahamGreene）的小说《败者为王》（LoserTakesAll）是一本好书，但是它基于一个错误的前提：有一些巧妙的基于数学的下注组合方法能让玩家占有优势而不是庄家。但数学家们已经证明，在每一场赌局单独来看都是对庄家有利的时候，无论怎样组合都不会扭转局面对玩家有利。对不起啦，朋友们。

胡安·帕隆多（JuanParrondo）告诉你，你务必十分明确地阐述如下一般论断：在所有赌局都对一方有利的时候，无论何种情况我们都不可能找到一种组合让另一方有优势。我在这里描述一种他的思想的变体，其来自迪恩·阿斯图米安（DeanAstumian），他描述了一种依托于一张画有5个格子的纸板的简单游戏，如图11。（这不是一个认真的游戏。它的存在只是为了阐述上述观点）

图11　阿斯图米安的游戏纸板

你需要一种生成可能性为1%的随机事件的方式：也许是一个装有99个白球和1个黑球的袋子，或者一个会等可能地停在100个小格中的转盘。游戏开始时，在标有“起始”的格子中放一个标记物。每一次移动都将标记向左或者向右移动一格，如果在到达赢之前没到过输就算胜利。

一共有两组基本规则，我们叫它们A和B。在规则A中，你总是会从起始移动到左；你一定会从右移动到赢；你会在左使用转盘，有1%的概率移动到输，99%的概率移动到起始。在规则B中，你在起始使用转盘，有99%的概率移动到右，1%的概率移动到左；在右，你总是从右移动到起始；你在左时，情况和规则A中一样——转盘给出1%的概率移动到输，99%的概率移动到起始。

对这个游戏的分析是很简单的，在规则A中，没有规则允许移动到右；你在起始和左之间往复移动，直到随机概率使你从左移动到输。在规则B中，你经常在起始和右之间移动，而偶尔移动到左。最终，在其中一次经过左的时候，随机概率使你移动到了输。在这两种游戏中，移动到赢的概率都是0。

在一个新的游戏规则C中，你需要一枚公正的硬币。在每次移动前，掷一次硬币：如果正面朝上，使用规则A；如果背面朝上，使用规则B。

结果是你在规则C中取胜的概率超过了98%!很容易就可以阐明为什么游戏对你十分有利：如果你到了左，你非常有可能安全回到起始。从起始，有一半可能你使用规则B，有99%的概率到达右；而在右，你有一半概率使用规则A，必然会取胜。

遵循着规则A和B，你一定会输：在两种规则之间交替，你几乎每次都会赢!悖论中构筑一个排除了上述例子的数学命题需要非常严谨的语言描述，这也就说明了格林的结论其实摇摇欲坠。

2+2=4，还是2+2=6？

假设我们用一个公正的硬币来实现伯努利试验，也就是说，每次投掷硬币结果都是独立的，且正面（Heads）反面（Tails）是等可能的。典型的结果是HHTHTTTHT……要掷出H的平均等待投掷次数是2；但是要掷出HT，或者HH的平均等待投掷次数是多少呢？

直觉上讲，答案是4，因为我们预计会等2次投掷来得到第一个标志H，等2次投掷得到另一个标志T。我们等待HT的平均投掷次数的确是4，但对于HH不是这样。为了看到这种样式，平均投掷次数是6!

有这种不同是因为，要得到HT，认为我们预计得等2次才得到H是正确的，而要再等2次才得到T从而完成这个样式。2加2等于4。但是对于HH，在我们得到第一个H的时候，下一次投掷有一半的可能性会掷出T，我们就得重新开始了——之前得到H的所有次数就都浪费了。得到正确答案的计算过程在附录中。

H与T两者中一个先出现是等可能的；那在HH与HT之间呢？再一次地一个比另一个出现得早是等可能的，因为我们必须等到第一个H出现，之后下一次投掷决定了最终结果。然而，在HH与TH之中，后者首先出现的可能性是前者的3倍!原因很简单：序列由HH开始的可能性是14，但是除非这样，那么不可避免地TH首先出现（思考一下这是为什么）。

彭尼赌局游戏（Pee）就是基于上述的观点。你请你的对手选择8个可能的长度为3的一组结果中的任何一个，比如HHT，或者THT等，它们都可能会是连续3次投掷公正硬币的结果。之后你选择一个不同的结果，一个中立的人重复投掷硬币，选择了首先出现的结果的那个人获胜。

尽管表面上看你大方地允许你的对手先选择，但是这个游戏是对你有利的——如果你知道你应该做什么的话。无论她选择了什么，你都可以选择一个有至少23可能性比她的样式先出现的样式!获胜的秘诀在附录中。

给我点暗示……

1。三张形状大小完全相同的双面卡片装入一个袋子中。其中一张两面都是蓝色，另外一张两面都是粉色，最后一张一面是粉色，另一面是蓝色。随机选择一张卡片，可以看到它的一面是粉色。另一面更有可能是蓝色还是粉色呢？或者说可能性相等？问题交给你吧——下面有回答。

2。细致的计算表明，从洗好的牌堆中分发出来的一副13张的桥牌，有26%的可能性包含2张或者更多张A。你给露西发牌。对于问题：“你的手牌中至少有一张A吗？”她的回答是“是的”。在另一个情形中，你给蒂娜发牌，并问：“你的手牌中有黑桃A吗？”她的回答也是“是的”。哪一副手牌更有可能包含2张或者更多张A？或者说可能性相等？答案在下面。