完本神战

08 其他应用 Other Appl ications（第1页）

08其他应用OtherApplis

这一章中我们不关注概率在掷色子、赌场赌博和其他在自然科学中的种种应用。这一章中为了展示概率的普遍存在，我找出了它在法律、社会科学、体育运动和经济学中的应用。

法律事务

尽管20世纪最著名的英国法官之一——丹宁勋爵（L）有一个数学学位，但是很少有律师对概率抱有好感。有关概率这门学科有关的措辞在法庭中被自由使用，这应该是令人震惊的。在民事案件（例如诽谤案件）中，陈述“概率是均衡的”就相当于明确地将分割线设在了50%。但是在刑事案件中，只有在陪审团“确认”有罪后他们才能定罪。在数字上没有共识。其中一些人在她们80%确定有罪时定罪，另一些人会在95%或者更高时确定。这些明显是主观概率。而且尽管无论在什么样的罪行判定中都使用相同的措辞，有些人会对相对较小的罪行采取较低的证明阈值。这也就是为什么比起逃票，恶性谋杀案更难以定罪。

假设一名专家证人做证说被告的DNA与在案发现场找到的DNA相符，而后者与随机选取的一个无辜者相符的概率是几百万分之一。陪审员们对这个证词的理解可能存在两个不同的问题。第一个是他们也许会认为证词等价于说在犯罪现场发现的DNA不属于被告的概率是几百万分之一。第二个是他们会将所有这些很小的数字等量齐观，即使一千万分之一与十亿分之一的一百倍是不同的。

第一个问题被称为“检察官谬误”（prosecutor’sfallacy）。很明显这个错误就相当于认为已知DNA相符的情况下无罪的概率，与已知无罪的情况下DNA相符的概率，是相等的。这是个逻辑上的无稽之谈。已知轮盘赌轮是公正的时候，转到0的概率与转出了0的情况下赌轮公正的概率并不相等。向陪审团提供与犯罪现场DNA相符的市民的数量会避开这个陷阱。在有大约6000万人口的情况下，如果相符的概率是两百万分之一，就会有30人左右相符；如果概率是两千万分之一，大约有3个人相符，不太可能超过半打。但是不要忽略了“随机选取”这句话：与罪犯亲缘越近的人，越可能相符，这个证据对被告不利的程度就越弱。

通过考虑到贝叶斯公式计算证据有效性的方法，可以避免第二个错误。在这个证据呈递之前，你对被告是否有罪有一定的看法。如果证据出现的可能性在有罪时是无罪时的10倍，那么有罪的赔率就会在证据出现之后乘以10；如果证据出现的可能性在无罪的时候是有罪的时候的3倍，那么有罪的赔率就会减少到原来的13，以此类推。在存在DNA证据的情况下，假设有罪时证据出现的概率经常是100%，这就让证据的影响变得清晰起来：有罪的赔率就应该乘以那个是“几百万”的具体数字。

随机化回答

一名班主任想要查明高年级学生吸食大麻的比例。直接询问无法得到可信的答案，但是一种称为随机化回答（randomizedresponse）的技术是可用的。大意就是负责记录回答的老师并不知道实际上询问的问题是什么，所以大麻使用者就不会担心被认出而可以诚实地回答问题。

80张卡片每张都写着“我吸食大麻”，另外20张都写着“我不吸食大麻”。每张卡片都被装入完全相同的信封中，这100个信封在一个大袋子中被充分混合。学生们应该看到这些操作，所以他们明白袋子中装着两种不同版本的问题和它们的比例。

安吉拉随机选择了一个信封，打开了它并自己看了问题，然后仅仅回答“同意”和“不同意”中的一个。然后她将卡片放入信封，将信封返还到袋子中，并摇晃袋子为下一个学生做准备。

假设13的回答都是“同意”。因为学生们都是随机地抽取信封，“同意”来自80%的使用者，与20%的非使用者的诚实回答。几行代数计算显示这与29的学生是使用者的情况是一致的。班主任得到了他的答案，没有单独哪个学生被认出来。

或者，把“我不吸食大麻”替换成一个无关的题目，它被“同意”的比例是已知的。如果一个早期的调查估计有一半学生拥有一只宠物，而且没有理由将吸食大麻和拥有宠物联系在一起，在那20张卡片上的问题就可以是“我拥有一只宠物”。然后，如果13的回答是“同意”，我们估计724的学生是大麻使用者。

得出这些答案的计算过程会在附录中给出。

每次提问时问的是哪个问题的不确定性致使最终估计中存在一些不精确度。装有敏感问题的信封的占比应该尽可能高，但是要足够低以使真正的大麻使用者相信给出诚实的回答不会招致麻烦。在高达95%的卡片上设置敏感问题是不会有效果的。

世界反兴奋剂机构

世界反兴奋剂机构（TheingAgency，WADA）致力于促进体育运动成为一项健康的活动，他们识别使用能提升表现的药物的运动员，并将之排除在比赛之外。但是无论使用什么方法，任何检测程序都可能会给出两种相反的错误：认为一名无罪运动员使用了禁药，和让一名禁药使用者通过检查。

不幸的是，减少两种错误之一的概率的方法经常会造成另一种错误的概率增加。例如，检测测量睾酮（testosteroerone）的比例。正常情况下肌体产生相等数量的这两种物质，但是那些通过注射睾酮以作弊的运动员就会有较高的TE比。TE比高于某个特殊的值，比如6比1的运动员，将会被禁止参赛。然而，自然情况下TE比就会变化：它会随着月经周期（menstrualcycle）变化，如果你得流感了，它也会增加。将TE比临界值设定得太高则没有药物作弊者会被检出，设置太低则许多无罪的运动员将会被错误地指控。

假设某一次检测出错误的概率是1%。这意味着如果这个运动员是无罪的，那么他们不通过检测的概率是1%；如果他们是禁药使用者，那么他们通过检测的概率也是1%。萨姆没有通过测试：她是无罪的概率是多大？

问题这样描述，那么你几乎会脱口而出认为是“1%”——这个测试每100次出现一次错误，所以如果她没有通过测试，出错的可能性就是1100。你要克制这种冲动。唯一的正确答案是：“我不知道，这个概率可能是任何值。我们需要知道在全体受试者中使用禁药作弊的比例。”

比如，假设这个比例是1%左右。那么在10000个运动员中预计有100个禁药作弊者，和9900个无罪者。在检测中，我们预计只有1个禁药使用者通过了测试，其余99个都不能通过测试。但是9900名无罪者中的1%，也就是说99名运动员，也会无法通过测试。在那些无法通过测试的运动员中，一半是无罪者：那么萨姆是无罪者的概率就是50%。

如果禁药作弊者比例不同于1%，结论就会变化。如果它升高，萨姆无罪的概率就会降低，但如果它降低，她无罪的概率就会升高。禁药使用者的比例越低，这项测试就会越不令人满意，尽管它显然表现出色。

在我们考虑如何检测出机场中的恐怖分子的时候，相同的逻辑也会奏效。无论什么筛选设备都不会是完美的，但是假设一名真正的恐怖分子规避掉这些检测的概率是很低的，比如说110000，同时一名无辜的人被带进小屋进行严密审讯的概率是1100000。那么一个被揪住的人有罪的可能性有多大？

我们在不知道准乘客中恐怖分子的比例的时候没法回答这个问题。试作11000000——考虑到希思罗机场（Heathroort）每年客流量为5000万，这高得恐怖。但是这个数字使我们确信，即使有50名潜在的恐怖分子，他们全被检测出也是极有可能的。

但不幸的是，500名无辜的乘客也将会被扣押!在那些被检测系统拦截的人中，只有少于10%是恐怖分子。而且如果恐怖分子少于50名，被拦截的人确实有罪的概率甚至更低。检测方法想要有效的话，准确性需要更高。

足球比赛结果（1）

在英国，赌足球比赛的结果会引起人们的极大兴趣。无论赌局多么奇异都会有人捧场——赌第一个球的进球时间、所有进球球员所穿球衣的号码之和、比赛中判多少次黄牌和红牌——但最引人注目的是比赛结果是主队获胜、平局、客队获胜这三种中的哪一种。一个理性的下注者会评估这三种结果各自的概率，而他是否下注、下注大小，还有赌本的赔付金额（payoutprices）都会基于这些评估。