完本神战

03 历史概要 Historical Sketch（第1页）

03历史概要HistoricalSketch

开端

在1600年左右的佛罗伦萨，有一种关注三个普通色子总点数的游戏。所有色子掷出1（即总点数为3）和所有色子掷出6（即总点数为18）这两种情况出现得最少，其他大多总点数都接近于这个范围的中间值。你应该能发现得到9点有6种方法（例如6+2+1、5+2+2，等等），得到10点也是有6种方法。通常认为，这就“应该”使色子总点数为9和10出现的频率一样。但是一段时间之后，玩家们注意到总点数为10出现得比9明显多。他们就此向伽利略（Galileo）请教一个解释。

伽利略指出他们计数的方法有缺陷。将色子涂成红色、绿色和蓝色，并按涂色的顺序列举出结果。从3+3+3得到总点数为9需要三个色子具有相同的点数，只有一种方式能够使其发生，（3，3，3）。但是5+2+2的组合可以通过（5，2，2）、（2，5，2）或（2，2，5）中产生，所以这个组合倾向于出现得比前者频繁3倍；6+2+1通过（6，2，1）、（6，1，2）、（2，6，1）、（2，1，6）、（1，6，2）和（1，2，6）产生，所以这个组合有6种途径产生。一个合理的寻求不同总点数出现频繁程度的方法需要考虑这种因素，而且这种因素确实使得获得10点比9点有更多的方式。佛罗伦萨的赌徒们（Flamblers）学习了关于概率的重要一课——一定要学会正确地计数。

1654年夏天，帕斯卡（在巴黎）和费马（在图卢兹）就点数分配问题（theproblemofpoints）进行了一次通信。假设史密斯和琼斯约定进行一系列的比赛，首先赢得3局的是获胜者；但不幸的是，当史密斯领先琼斯的比分为2∶1时比赛必须中止。该如何分配赌金？

那时这样的问题已经被提出了至少150年了，仍没有令人满意的解答，但帕斯卡和费马各自独立地找到了一个解决方案，对任意的目标得分和任意的比赛意外终止时的比分，都能够在两人之间公平地瓜分赌金。他们使用了不同的方法，但是得到了相同的结果，两人都对对方的才华表示赞赏。对上述具体的问题，应该按照3∶1的比例分配，史密斯得到34的赌金，琼斯得到14的赌金。

他们解法的关键是假设在未来的任何对局中两个玩家获胜是等可能的。他们就每一个玩家计算了能够使其获得最终胜利的可能的假想对局结果数量，并提议按照这两个数量的比值分配赌金。换句话讲，假设两人在接下来的游戏中旗鼓相当，赌金应该按照每个玩家在经历一系列对局后最终取胜的概率来分配。对概率的系统研究由此拉开了序幕。

这个问题能被概率的客观方法解决，但是帕斯卡考虑得更多。他提出了一个有关上帝是否存在的赌局。“上帝存在，或不存在，缘由无法回答。在无限远的彼岸掷一枚硬币，正面或者反面就要出现。你赌哪边？”

他提出，如果上帝存在，相信或者不相信带来的不同，就是在天堂获得无限的幸福与在地狱忍受无限的痛苦之间的区别；如果上帝不存在，相信或者不相信只会带来尘世生活中细小的差别。所以一个不可知论者应该强烈倾向于相信上帝存在。

在这个赌局中，“正面”或者“反面”出现的概率大小是具有个人色彩的选择，不能从对称性抑或计数证据中推导出。所以帕斯卡也是概率的主观方法的先驱者。

瑞士的伯努利家族

在17世纪和18世纪，来自巴塞尔的伯努利家族[1]的成员在数学（包括概率）领域取得了重要进展。家族内的竞争起到了鞭策作用：他们中的一个会提出难题，另一个就会回应，难题的提出者会说他发现了所谓的解决方案中的瑕疵，等等。

关于概率的游戏激发了许多对概率运作的早期关注。在这些游戏中，无论是掷色子、发牌，还是掷硬币，一些“试验”会在本质上相同的情况下被重复进行。之前提出过一个自然的问题：一个结果被观察到的概率和客观概率有什么关系？

雅各布·伯努利（Jaoulli）在其遗作《猜度术》（TheArtofjeg）中，用他的例子巧妙地进行说明，给出了一个答案。假设罐子中60%的球是白色的，其余的是黑色的，随机抽取一个球。伯努利证明，只要试验抽取至少25550回，每一次试验中抽到白球的比例落在58%~62%的范围外部，就会有至少1000次试验中抽到白球的比例落在这个范围内部。不规范地说就是：在多次抽取的条件下，我们观察到白球的频率会压倒性地倾向于接近它的客观概率。

类似的分析过程适用于任意能在相同条件下不限次数地重复的试验，一个试验的结果不会对其他试验结果产生影响。每一次试验中，某些特定的结果代表着成功，它们的客观概率是一个固定的值p。这个概念现在被称为伯努利试验（Bernoullitrials）。在p这个值附近取任意区间，你愿意它有多小就有多小（±2%或±0。1%，都无所谓）。然后给出你想要让成功的频率落在这个区间内部比落在其外部高多少（100倍还是100万倍，怎样都行）。伯努利的方法证明了只要试验重复足够多次，任意这样的要求都会被满足。观察到的频率会像你期望的那样尽可能地接近于客观概率，只要给出充足的数据。这个断言被称为大数定律（theLaweNumbers）。

在1975年，一个主要致力于促进概率和数理统计发展的国际学会被命名为“伯努利学会”，以向这个家族致敬。

亚伯拉罕·棣莫弗

亚伯拉罕·棣莫弗（AbrahamdeMoivre）以胡格诺派[2]难民的身份在英国定居，依靠国际象棋和他的概率知识谋生。艾萨克·牛顿（Isaa）那时已经50多岁而且事务非常繁忙，为了岔开有关数学的咨询，他说：“去找棣莫弗吧，他比我对这些事情了解得更清楚。”棣莫弗的《机会的学说》（Doeofces）在1718年以英语出版，1738年的第二版包含了伯努利工作中的主要进展。了解他的成就要思考一个具体的问题：如果一个公正的色子被投掷1000次，我们能合理地预期数字6的产生频率与平均频率之间有多大偏差吗？

棣莫弗提出了一个对这类问题具有广泛应用的公式。他高超的洞察力表现在，他意识到数字6的实际数量与期待的平均数量之间的偏差，可以用投掷次数的算术平方根来进行最适当的描述。

如何夸大这个发现的重要程度都不为过。当你听说一个民意测验（opinionpoll）中一个政党的支持率是40%，它经常会附加一个暗示，这只是一个估计，真实的支持率“非常可能”在一个范围中，比如38%~42%。这样的区间宽度告诉你最初数字40%的精确度，而如果你想要更高的精确度，就需要更大的样本：这个平方项意味着要将精确度变为2倍，样本需要扩大4倍!我们有一个“报复式”的收益递减法则——要达到原来的2倍效果，我们必须投入原来的4倍精力。

棣莫弗的方法可以用考察一个公正的硬币投掷20次时有多少次正面朝上来说明。基于所有的例如正正正反正……正反正反这样的，长度为20的序列都是等可能出现的，我们可以绘制出图1。其中垂直条的高度表示大约100万种序列中有多少个恰好包含0、1、2、……19、20个正面。这些数字各自的客观概率就正比于这些高度。棣莫弗证明了经过这些竖条顶点的最佳拟合的光滑连续曲线非常接近于一个特别的形状，现在通常称之为正态分布（normaldistribution）。

图1　20次投掷中正面朝上的相对频率

这种曲线会生成于所有的多次掷硬币过程中，并且还可以包括掷出正面的概率不等于12的情况。所有曲线之间有一个简单的关系，所以棣莫弗可以就一个基本的曲线制作一个简单的数表，并能在任何情况下使用。整体的成功频率在一个确定的限制范围中，现在就能够简单地获取对这样的事件的发生比例的估计——需要的仅仅是获胜的概率和将要进行的试验的次数。将一个公正的色子掷200次，你想知道数字6出现次数在30~40间的可能性有多大吗？或者一个公正的硬币在100次投掷中掷出60次以上的正面的可能性有多大？没问题——棣莫弗有解决方案。

假设我们知道一群人死亡时的年龄，所有人都活到了至少第50个生日。棣莫弗的工作可以回答这样的问题：“如果一个50岁的人在70岁之前死亡是更有可能的，我们能够观察到这些数目的各种变化的可能性有多大？”虽然这十分有用，但是它不能回答新兴的人寿保险业提出的关键问题：“我们有多么确信一个50岁的人在他70岁之前即死亡是更有可能的？”

逆概率

托马斯·贝叶斯（ThomasBayes）是一个在数学领域有建树的长老会牧师，他的思想现在比在其生前更受重视。他的《机遇问题的解法》（EssayTowardsSolvingaProblemirineofces）在他死亡三年后的1764年出版，给出了初步处理主观概率的一般方法和从数据中推断概率的保险精算师问题的一个解决方法。这本书也包含了一个处理概率的重要工具，被称为贝叶斯法则（Bayes’Rule）。

为了举例说明这个法则，设想我们掷一个公正的色子两次。已知第一次掷色子点数是3，很容易地就能够得到总点数是8的概率，因为这个事件会在第二次投掷点数为5时发生。我们不假思索地就能给出解答为16。但是将问题调转一个方向，设问：给出总点数是8，第一次掷出3的概率是多少？答案远远不那么简单了，但是我们可以应用贝叶斯法则来得到结果。在掷色子的标准模型下这个概率为15。

对于刑事审判中处理证据的方法，逆概率（inverseprobability）这个概念至关重要。假设在犯罪现场找到的指纹被鉴别为属于一个已知的人——史密斯。如果史密斯是无罪的，发现这个证据的概率很可能是非常低的。但是法院判决的依据不是“已知史密斯是无罪的，发现这个证据的可能性有多大”而是“已知发现了这个证据，史密斯无罪的可能性有多大”。贝叶斯法则是获得答案唯一合理的方法。我们将会在后面的章节中看到这个法则是如何帮助我们做出正确决定的。

贝叶斯展示的洞察力在很多年中被忽略了，但是他的确指出了中心问题：如果在一系列的伯努利试验（例如掷色子）中，成功的概率是未知的，但是试验和成功的次数都分别是已知的，这个不可知的概率落在指定区间内的可能性有多大？而另一位极其优秀的数学家拉普拉斯的计算优于贝叶斯。

从1774年试探性的开始到1812年的理论综合体，拉普拉斯逐渐地完善着他的分析，并最终给出了解答贝叶斯问题的一系列明晰的公式。例如，利用巴黎男性和女性的出生人口数目，他得出结论，毫无疑问男性出生的概率高于女性——他估计这结论错误的概率是10-42。

贝叶斯被安葬在伦敦的邦丘原野公墓（CemeteryofBunhillFields），在皇家统计学会（theRoyalStatisticalSociety）附近。其墓地曾经被修复过，来表达全世界统计学家对贝叶斯的敬意。

中心极限定理

将一些伯努利试验的结果写成由胜利（Success）和失败（Failure）组成的序列，例如FFFSFFFSSFSFF……现在将每个S用数字1代替，每个F用数字0代替，得到0001000110100……这表明了一个巧妙地理解这些试验中胜利的总数的方式：序列中的这些数字的和（同意吗？）。棣莫弗利用他所谓的正态分布曲线，给出了一个描述这个和的分布的良好近似方法。

对于一个巨大的数值序列，我们要考虑的可能只是其中随机变化的各个值的和。例如，负责垃圾处理的政府部门主要感兴趣的是整个城镇中的垃圾总量，而不是来自每个家庭的数量。当一位园丁播种红花菜豆时，他关心的不是每个豆荚的大小，而是总产量。一个赌场基于它的全部赢得的钱来评估其经济收益，不论个别赌徒的收益如何。将着眼的事物看作大量随机数据的和，这经常是卓有成效的。

拉普拉斯拓展了棣莫弗的工作以便能涉及像这样的情况。他建立了中心极限定理（tralLimitTheorem），该定理说明了在很多情况下，大量随机数据的和是棣莫弗的正态分布的理想近似状态。我们不需要某个单独数据如何变化的细节，整体数据变化的模式会紧密地贴合这个正态法则。