完本神战

01 基本原理 Fundamentals（第1页）

01基本原理Fuals

概率的视角

概率是不确定性这一概念的形式化表述。误打误撞效应显然到处都是。从生物学上说，我们都是父母基因随机混合后的产物。像是石油泄漏、火山喷发、海啸、地震等灾害，或是中彩票这样令人愉悦的事情，都会随机且显著地影响人们的生活。

许多人具有良好的理解概率的直觉，但在你对某件事情有了某种先入为主的观点，而后来一些具有不完全明显的相关性的新事实被披露出来的时候，这种理解就会让你误入歧途。的确有一些臭名昭著的有关生日、二孩家庭、有三个选择的电视节目游戏的“诡计问题”（trickquestions），它们似乎被设计成说服你这门学科是有违常识的。其实概率并不违背常识，只要清除掉或者考虑到这些问题中所有隐藏的假设，合理的答案就会浮出水面。只不过概率的确需要清楚的思维过程。

概率的广泛应用促进了这门学科概念和方法的发展。1944年6月的诺曼底登陆[1]能够发生，就是因为当时人们认为有利天气出现的概率相对较高。荷兰的工程师们在建造保护其国家免受海洋侵袭的堤岸时，必须考虑发生严重洪水的概率。一种新型治疗方法是否比先前的方法更能帮助一名患者多生存五年？你需要交多少钱来给自己、车辆、房子或财产上保险取决于早期索赔的可能性。你所做的大多数决定：在学校学习什么、选择谁作为人生伴侣、在哪里居住、从事什么工作都是在有不确定性的情况下进行的。就像皮埃尔-西蒙·拉普拉斯（Pierre-SimonLaplace）在1814年所说的那样：

……生命中最重要的问题大多都只是概率问题。

“概率是……”这样的措辞无论何时出现，都伴随着某些假设（它们可能在不经意间被忽略了）。如果那些假设是无端的，那么这些断言就不会被人相信。我希望在这本书中假设是明确的，无论它们是含蓄还是直白。在我们将目光转向概率的种种阐述能如何被诠释之前，先描述一下产生这些阐述的不同思路。古典概率

概率的古典（classical）或者说客观（objective）视角经常出现在有关概率的游戏中，例如掷色子和转轮盘赌。这些过程都会产生一系列可能的结果，我们出于对称性的考虑，或者因为找不到是其中一个结果而不是另一个更会发生的原因，认为它们都是等可能的。所以我们只是对结果进行计数，并赋予它们相等的概率，这样试验中的任何事件的概率都被认为是引发它的结果占所有结果的比率。

例如，连掷两次硬币，四种可能的正反面结果是：正正、正反、反正、反反。就一枚公正的硬币来说，每次掷出正或反都是等可能的，所以四个结果中没有一个比另一个更可能或更不可能，每一个结果的概率都应该是14。其中有三个至少一次掷出正面，所以总体上讲正面出现的概率是34。

从一个牌堆中取两张扑克牌，有1326种结果（请相信我的话）。如果牌堆是被洗好了的，我们就认为这些扑克牌组合都是等可能的。因为其中有64种牌面由一张A和一张“十牌”（即10、J、Q或K[2]）组成，所以我们得出结论，抽到这样的组合——“二十一点（Blackjack）”——的概率是641326，刚好不到5%。

仅从概率的角度而言，这些例子都可以转化为从装有完全相同的球的袋子中取出某个球的形式。第一个例子对应的袋子中装有4个球，3个是红球；第二个例子对应的袋子中装有1326个球，其中64个是红球。的确，每一个对概率的客观考量的例子本质上都与从袋子或者瓮中取出一个球的问题完全相同（这就解释了学生们教材中这类例子过多的原因）。

我要强调的是，仅仅计算可能结果的数量然后计算多少个结果会引发相应的事件是不够的。一定要有令人信服的理由说明任何结果都不会比其他的更可能或更不可能发生。否则，基于彩票只有两个可能的结果：要么中奖，要么不中，你会掉入买彩票中大奖概率是50%的思维陷阱中!

试验证据——频率

我们希望在“大富翁”这类家庭游戏或者例如双色子赌博的赌场游戏中，色子的六个面中掷出每一个都是等可能的。但如果色子由不均匀的材料制成，或者它的长度、宽度和高度三者不相同，那么假定每种结果是等可能的显然不明智。在相同条件下进行的一系列投掷过程中，出现任何一个面的频率都会波动，但最终将会稳定并趋近于一个特定值。

不可能出现前1000次投掷中20%的结果是6点，而接下来的1000次投掷中这个比例跳到了60%。在这些可重复试验中，结果可能是不完全一样的，但是每一个结果都倾向于表现出某个特定的频率，频率论者（frequentist）认为这个频率值就是相应结果的概率。

对于一个不完美的色子，在前1000次投掷中，我们可能会得到170次6点，下1000次中，可能得到181次6点，诸如此类。我们不能从这些试验中推断出掷出6点的概率精确值，但是试验数据指导我们对概率进行估计，我们收集的试验数据越多，我们估计得就越准确。我们无法知道概率的精确值，但这一事实并不能否认概率的存在。

如果我从洗好的牌堆中抽取一张牌，似乎没有理由认为某种花色比其他花色更容易被抽到。每种花色都有14的客观概率。而且如果我放回这张牌，重新洗牌，然后再进行100次试验，我会预期每种花色的出现是同样的频繁，就是大约25次。类似地，对于投掷结果都是等可能的普通色子，投掷结果是5点的概率客观地讲是16。在600次投掷中，我们预期掷出5点的次数大约为100次。

在重复大量具有等可能性结果的试验时，任何特定结果相应的频率都预期会接近于它客观计算的概率。一个公正的硬币极少会在100次投掷中给出50次正面朝上的结果，但是直觉上我们不知道该期望投掷结果多么接近理想情况才合理。

频率观点不仅被应用于同样条件下的重复性试验，还有在即将出生的婴儿是男是女上。不考虑家庭因素，我们来看看从许多国家和文化环境中收集的覆盖了很长时间跨度的数据。一个持续的模式是：每49个女婴出生，就有51个男婴出生。鉴于无法将某个新生儿和其余的进行区分，一个频率论者会认为生男孩的概率是51%。

一些规模惊人的试验已经开展了。1894年，动物学家拉斐尔·韦尔登（RaphaelWeldon）发表了将12个色子投掷2600次的结果。他的数据与六个面等可能出现的观点相抵触，因为5和6这两个数字出现得太频繁。为了辨认数字，他的色子上每个面钻了小孔，刻有5和6的面分别对着刻有1和2的面。这些色子的重心就会更接近数字较小的面，这给出了一个对观察结果中频率过大貌似正确的解释。

大约70年后，一个有大量时间的一丝不苟的人——威拉德·朗克尔（WillardLongcor）在哈佛大学顶尖的统计学家弗雷德里克·莫斯特勒（FrederickMosteller）手下效力。在莫斯特勒的指导下，朗克尔收集了超过200个色子，并将它们中的每一个都投掷了超过20000次，只记录结果的奇偶性——得到超过400万个数据。为了让每次投掷的环境尽可能相同，他使用了一个铺了毯子的桌面，用一个升起来的台阶将色子弹下去。那些类似韦尔登使用的廉价色子存在微小但明显的偏差，以至于出现了太多的偶数，这并不出人意料，也是那些钻孔的原因。而对于那些使用在拉斯维加斯赌场的高精度色子，上面表示数字的点不是轻轻画上去的就是极薄的圆盘贴上去的，就没有可检测到的偏差。这些色子各种结果的频率与在古典视角下等可能结果的概率是一致的。

“二十一点”专家皮特·格里芬（PeterGriffin）挖苦地说，他在拉斯维加斯玩的1820局牌中，庄家牌堆顶上要么是十牌，要么是A的情况出现了770次。而抽到这些对庄家有利的牌的客观概率是513，所以格里芬怀疑自己是否被欺骗了——随机概率只会让发牌者抽到这种好牌大约700次。

2002年3月，马拉维有6202名五岁以下的儿童被认为疑似患上了肺炎，其中523名儿童死亡，死亡率为8。4%。已知没有某些特殊情况让这段时期不同于以往，一个频率论者就会推断：一名患上肺炎的马拉维儿童的死亡率是8%~9%。从客观角度来说，关于马拉维患有肺炎的儿童的死亡率的一般性陈述仍是一种推测，尽管基于这样确凿的证据：如果随机从那些特定的6202名儿童中选择一名，他的死亡概率是8。4%。

我们将会在后面更深入地讨论频率数据和客观概率的关系。

主观诠释

布鲁诺·德·菲内蒂（Brui）是概率这个领域中最有影响力的思想者之一，他曾写过：

概率不存在。